Bilindiği gibi, bütün sayıların karesi pozitif bir sayıdır. Buna benzer olarak da, pozitif sayıların reel bir karekökü vardır. Yani örneğin, 9 sayısının karekökü 3 sayısıdır. Çünkü 3 x 3 = 9’dur. Benzer biçimde 16’nın karekökü 4’dür. Bilinen tüm pozitif sayıların karekökü vardır. Peki negatif bir sayının karekökü varmıdır? Varsa hesaplanabilir mi? Bu sorunun yanıtı, negatif sayıların karekökü vardır olacaktır. Bir negatif sayının karekökü bir sanal sayıdır.

Görünüşte anlamsız olan eksi bir sayının karekökünü alan bir formülü, kağıt üzerinde ilk olarak, İtalyan matematikçi Cardan yazmıştır. 10 sayısının, çarpımları kırk olan iki parçaya ayrılması olasılığı araştırılırken, bu problemin ussal bir çözümü olmamasına karşın olanaksız sayılan iki anlatım biçiminde bir yanıt elde edilebileceğini gösterdi:

Cardan, bu gösterimi çekine çekine yapmış, onları sanal ve anlamsız bulduğunu bildirmişti. Ancak bu gösterim, eksi sayıların kareköklerinin yazılmasına cesaret edilmesinin ilk örneğidir. Bu çalışmanın ardından, matematik dünyasında karmaşık sayılar sıklıkla kullanılmaya başlanmıştır.

Ünlü Alman matematikçi Leonard Euler, 1970’de yayımlanan “Cebir” kitabında sanal sayıların geniş uygulanışı bulunuyor. Euler, bu sayılarla ilgili olarak, “bu sayılar gerçek değillerdir, sanaldırlar, ne sıfırdan küçük ne de büyüktür” demiştir.

Denilebilir ki, sanal sayılar ailesi olağan ya da gerçek sayıların aynadaki görüntüleridirler ve gerçek sayılarda olduğu gibi birden başlayıp, bütünüyle aynı yoldan, yani sanal sayılar birimiyle ve genelde i simgesiyle gösterilir.
İlk kez Cardan tarafından yapıldığı gibi, gerçek bir sayı ile sanal bir sayı, tek bir terim oluşturmak için birleştirilebilir. Bu sayılar, karmaşık sayı olarak bilinir. Sanal sayılar matematik alanına girdikten sonra, biri Wessel adında Norveç’li bir topograf, öteki Robert Argand adında Paris’li bir muhasebeci olan iki amatör matematikçi tarafından yalın geometrik bir yorum yapılıncaya kadar, yaklaşık iki yüzyıl, bir anlaşmazlık ve giz perdesi altında kaldı.

Wessel ve Argand’ın açıklamalarında, 3 + 4i biçimindeki bir karmaşık sayıda (şekilde) 3, yatay uzaklığı, yani apsisi, 4 düşey uzaklığı, yani ordinatı göstermektedir.

Gerçekten de bütün olağan gerçek sayılar (eksi ya da artı), yatay eksen üzerinde kendilerine karşılık olan noktalara, öte yandan bütünüyle sanal olan sayılar da düşey üzerindeki noktalarla gösterilebilirler.
Yatay eksen üzerinde gösterilebilen bir gerçek sayıyı, örneğin 3’ü, sanal birim olan i ile çarptığımız zaman bütünüyle 3i sayısını elde ederiz ki bu, düşey eksen üzerinde gösterilebilir. Bundan böyle i ile çarpmak, geometrik olarak saat yelkovanının tersi yönde bir dik açı kadar dönmeye eşdeğerdir.

Şimdi bir kez daha 3i ile çarparsak bir ’lik dönüş daha yapmamız gerekir ki bu kez sonuç olarak yeniden yatay eksen üzerine ama eksi yana geliriz. Bu nedenle:
Böylece görüyoruz ki “ i’nin karesi eşittir –1 “ anlatımı, “ iki kez dik açılı bir dönüş ile eksi yana geliriz” anlatımından daha iyi anlaşılabilir. Kuşkusuz, aynı kural karmaşık sayılar için de doğrudur. 3 + 4i ‘yi i ile çarparsak: elde ederiz.
Şekilde de görüldüğü gibi -4+3i ye karşılık olan nokta 3+4i ye karşılık olan noktanın başlangıç noktası çevresinde dönmesiyle elde edilen noktaya uymaktadır. Bunun gibi –i ile çarpım da yine şekilde görülebileceği gibi başlangıç noktası çevresinde ama bu kez saat yelkovanı yönünde bir dönüşten başka birşey değildir.

Sanal sayıları saran giz perdesini ortadan kaldırmak için aşağıdaki probleme bir göz atalım:

Macera sever genç bir adam, büyükbabasının babasından kalma belgeler arasında, gizli gömünün yerini gösteren bir kağıt bulur. Tanım şöyledir: “...derece kuzey enlemine ve ...derece batı boylamına yelken aç, bırakılmış bir ada bulacaksın. Adanın kuzey kıyılarında çevresi kapalı olmayan bir çayır, bu çayırda tek başına duran bir meşe bir de çam ağacı vardır. Orada bir de hainleri astığımız bir darağacı göreceksin. Darağacından başlayıp meşe ağacından doğru adımlarını sayarak gel, meşe ağacından bir dik açı kadar sağa dön, aynı sayıda adımla ilerle, orada yere bir kazık çak. Buradan yine darağacına gel bu kez çam ağacına doğru adımlarını sayarak ilerle, çam ağacına gelince bir dik açı kadar sola dön ve bu yönde önce saydığın adımlar kadar ilerle, burada da yere bir kazık çak. Bu iki kazık arasının ortasını bul, gömü oradadır.”

Bu tanım oldukça açık ve kesindi; genç adam bir gemi kiralayıp kuzey denizlerine açıldı. Adayı, çayırı, meşe ve çam ağacını buldu. Ama eski darağacı kaybolmuştu. Bu tezkere yazıldığından bu yana çok zaman geçmiş olduğu için yağmur, güneş ve rüzgar onu yıkmış, önceki yerinde iz bırakmayacak şekilde toprağa karıştırıp yok etmişti.

Maceracı genç umutsuzluğa düşüp çılgınca bir öfkeyle bütün çayırı rastgele kazmaya başladı. Ama bütün çabaları boşa gitti; ada çok büyüktü. O yüzden eli boş döndü. Büyük bir olasılıkla gömü belki hemen oracıktaydı.

Acıklı bir öykü, ama daha acıklı olan, bu gencin biraz matematik, özellikle de sanal sayıları kullanmayı bilmesinin bu gömüyü bulmasına yetecek olmasıdır. Adayı, bir karmaşık sayılar düzlemi olarak düşünelim. İki ağacın dibinden geçen bir eksen (gerçek eksen) ile bu uzaklığın ortasından geçen başka bir ekseni çizelim.

Bu iki ağaç arasındaki uzaklığın yarısını birim olarak alırsak meşe ağacı gerçek eksende +1 ve çam ağacı –1 noktalarında bulunuyor diyebiliriz. Darağacının yerini bilmediğimize göre bunun bilinmeyen yerinin de darağacına benzemesi nedeniyle bunu harfiyle gösterelim. (Eski Yunan alfabesi) Darağacının kesinlikle eksenlerin biri üzerinde bulunması gerekli olmadığına göre bir karmaşık sayı olarak düşünülebilir.